已知数列{an}的递推公式是an+2=3an+1-2an且a1=1,a2=3,求a5:127是第几项,

Question

已知数列{an}的递推公式是an+2=3an+1-2an且a1=1,a2=3,求a5:127是第几项,

Answer 1

an+2=3an+1-2an,推得an+2-an+1=2（an+1-an）,所以{an+1-an}是首项为2,公比是2的等比数列,所以an+1-an=2^n,两边同时除以2^n+1,令Cn=an/2^n,有2Cn+1-Cn=1,两边同时减2,整理得2（Cn+1-1）=Cn-1,即{Cn-1}是首项为-1/2,公比为1/2的等比数列,即Cn=1-1/2^n,所以an=2^n-1,a5=31,128=2^7-1,为第七项.