已知常数a≠0，f（x）=alnx+2x．（1）当a=-4时，求f（x）的极值；（2）当f（x）的最小值不小于-a时，求实数a的取值范围．

Question

已知常数a≠0，f（x）=alnx+2x．
（1）当a=-4时，求f（x）的极值；
（2）当f（x）的最小值不小于-a时，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
a=-4时，f（x）=-4lnx+2x，
f′（x）=2-(4)/(x)=(2x-4)/(x)，
令f′（x）>0，解得：x>2，令f′（x）<0，解得：x<2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（2）=4-4ln2；
（2）f（x）的最小值不小于-a，
即alnx+2x+a≥0，
令g（x）=alnx+2x+a，g′（x）=(a)/(x)+2，
a≥0时，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，不合题意，
a<0时，令g′（x）>0，解得：x>-(a)/(2)，令g′（x）<0，解得：x<-(a)/(2)，
∴g（x）在（0，-(a)/(2)）递减，在（-(a)/(2)，+∞）递增，
∴g（x）_最小值=g（-(a)/(2)）=aln（-(a)/(2)）≥0，
解得：-2≤a<0．