已知函数f(x)=12x2+(1-a)x-alnx，a∈R．（1）若f（x）存在极值点为1，求a的值；（2）若f（x）存在两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2>2．

Question

已知函数f(x)=(1)/(2)x2+(1-a)x-alnx ， a∈R．
（1）若f（x）存在极值点为1，求a的值；
（2）若f（x）存在两个不同零点x₁，x₂，求证：x₁+x₂>2．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）f′(x)=x+1-a-(a)/(x)，因为f（x）存在极值点为1，所以f'（1）=0，即2-2a=0，a=1，经检验符合题意，所以a=1．（4分）
（2）f′(x)=x+1-a-(a)/(x)=(x+1)(1-(a)/(x))(x>0)
①当a≤0时，f'（x）>0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，不符合题意；
②当a>0时，由f'（x）=0得x=a，
当x>a时，f'（x）>0，所以f（x）为增函数，当0<x<a时，f'（x）<0，所f（x）为减函数，
所以当x=a时，f（x）取得极小值f（a）
又因为f（x）存在两个不同零点x₁，x₂，所以f（a）<0，即(1)/(2)a2+(1-a)a-alna<0
整理得lna>1-(1)/(2)a，
作y=f（x）关于直线x=a的对称曲线g（x）=f（2a-x），
令h(x)=g(x)-f(x)=f(2a-x)-f(x)=2a-2x-aln(2a-x)/(x)h′(x)=-2+(2a2)/((2a-x)x)=-2+(2a2)/(-(x-a)2+a2)≥0所以h（x）在（0，2a）上单调递增，
不妨设x₁<a<x₂，则h（x₂）>h（a）=0，即g（x₂）=f（2a-x₂）>f（x₂）=f（x₁），
又因为2a-x₂∈（0，a），x₁∈（0，a），且f（x）在（0，a）上为减函数，
故2a-x₂<x₁，即x₁+x₂>2a，又lna>1-(1)/(2)a，易知a>1成立，故x₁+x₂>2．（12分）