设f(x)＝alnx+12x+32x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Question

设f(x)＝alnx+(1)/(2x)+(3)/(2)x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

（Ⅰ） 求导函数可得f′(x)＝(a)/(x)−(1)/(2x2)+(3)/(2)
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
∴f′（1）=0，∴a−(1)/(2)+(3)/(2)＝0，
∴a=-1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f(x)＝−lnx+(1)/(2x)+(3)/(2)x+1（x＞0）
f′(x)＝(−1)/(x)−(1)/(2x2)+(3)/(2)=((3x+1)(x−1))/(2x2)
令f′（x）=0，可得x=1或x=−(1)/(3)（舍去）
∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．