已知函数f(x)＝lnx+1x−1（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，f(x)＝lnx+1x−1＞lnm(x−1)(7−x)恒成立，求实数m取值范围．

Question

已知函数f(x)＝ln(x+1)/(x−1)
（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）对于x∈[2，6]，f(x)＝ln(x+1)/(x−1)＞ln(m)/((x−1)(7−x))恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

（1）由(x+1)/(x−1)＞0，解得x＜-1或x＞1，∴定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）（2分）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f(−x)＝ln(−x+1)/(−x−1)＝ln(x−1)/(x+1)＝ln((x+1)/(x−1))−1＝−ln(x+1)/(x−1)＝−f(x)
∴f(x)＝ln(x+1)/(x−1)是奇函数．                                        …．（5分）
（2）由x∈[2，6]时，f(x)＝ln(x+1)/(x−1)＞ln(m)/((x−1)(7−x))恒成立，
∴(x+1)/(x−1)＞(m)/((x−1)(7−x))＞0，
∵x∈[2，6]，∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立…（8分）
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，
由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，
∴x∈[2，6]时，g（x）_min=g（6）=7
∴0＜m＜7…．（12分）