已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx．其中常数a＞0（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线l的方程为y=g（x），当x≠x0时，若h(x)−g(x)x−x0＞

Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx．其中常数a＞0
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线l的方程为y=g（x），当x≠x₀时，若(h(x)−g(x))/(x−x0)＞0在D内恒成立，则称P为y=h（x）的“类对称点”，当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解；（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
∴f′x）=2x-（a+2）+(a)/(x)
=(2x2−(a+2)x+a)/(x)
=((2x−a)(x−1))/(x)，
①当(a)/(2)=1，即a=2时，f′（x）=(2(x−1)2)/(x)≥0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
②当(a)/(2)＞1，即a＞2时，
由f′（x）＞0得：0＜x＜1或x＞(a)/(2)，
由f（x）＜0得：1＜x＜(a)/(2)；
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（(a)/(2)，+∞），单调递减区间为（1，(a)/(2)）
③当(a)/(2)＜1，即0＜a＜2时，
由f′（x）＞0得：0＜x＜(a)/(2)或x＞1，由f′（x）＜0得：(a)/(2)＜x＜1
∴f（x）的单调递增区间为（0，(a)/(2)）和（1，+∞），单调递减区间为（(a)/(2)，1）．
（Ⅱ）当a=4时，f（x）=x²-6x+4lnx，
∴f′（x）=2x+(4)/(x)-6，
y=g（x）=（2x₀+(4)/(x0)-6）（x-x₀）+x02-6x₀+4lnx₀，
令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀+(4)/(x0)-6）（x-x₀）+x02-6x₀+4lnx₀，
则φ（x₀）=0，
φ′（x）=2x+(4)/(x)-6-（2x₀+(4)/(x0)-6）
=2（x-x₀）（1-(2)/(x0x)）
=

作业帮用户 2017-10-21

问题解析

（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），求出函数的导数，对a分情况进行讨论，
（Ⅱ）当a=4时，f（x）=x²-6x+4lnx，求出f′（x）=2x+(4)/(x)-6，得到令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀+(4)/(x0)-6）（x-x₀）+x02-6x₀+4lnx₀，
求出函数φ（x）的导数，再通过讨论x的范围得出结论．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考察了函数的单调性，导数的应用，新概念的引出，渗透了分类讨论思想，本题是一道综合题．

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