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定义在实数集R上的函数y=f(x)的图象是连续不断的,若对任意实数x,存在实常数t使得f(t+x)=-tf(x)恒成立,则称f(x)是一个“关于t函数”.有下列“关于t函数”的结论:①f(x)=0是

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定义在实数集R上的函数y=f(x)的图象是连续不断的,若对任意实数x,存在实常数t使得f(t+x)=-tf(x)恒成立,则称f(x)是一个“关于t函数”.有下列“关于t函数”的结论:
①f(x)=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”;
②“关于
1
2
函数”至少有一个零点;
③f(x)=x2是一个“关于t函数”.
其中正确结论的个数是(  )

A.1
B.2
C.3
D.0
▼优质解答
答案和解析
由题意得,①不正确,如f(x)=c≠0,取t=-1,则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即f(x)=c≠0是一个“t函数”;
②正确,若f(x)是“是关于
1
2
函数”,则f(x+
1
2
)+
1
2
f(x)=0,取x=0,则f(
1
2
)+
1
2
f(0)=0,
若f(0)、f (
1
2
)任意一个为0,则函数f(x)有零点;若f(0)、f (
1
2
)均不为0,则f(0)、f (
1
2
)异号,
由零点存在性定理知,在(0,
1
2
)区间内存在零点;
若f(x)=x2是一个“关于t函数”,则(x+λ)2+λx2=0,求得λ=0且λ=-1,矛盾.③不正确,
∴正确结论的个数是1.
故选:A.