设函数f（x）=lnx-cx（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤x2恒成立，求c的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个相异零点x1，x2，求证x1•x2＞e2．

Question

设函数f（x）=lnx-cx（c∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤x²恒成立，求c的取值范围；
（Ⅲ）设f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证x₁•x₂＞e²．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=lnx-cx，∴x＞0，
f′（x）=(1)/(x)-c=(1−cx)/(x)．
当c≤0时，f（x）单调增区间为（0，+∞）．
当c＞0时，f（x）单调增区间为（0，(1)/(c)），f（x）单调减区间为（(1)/(c)，+∞）
（ II）∵f（x）≤x²，∴lnx-cx≤x²，
∴c≥(lnx)/(x)−x．
设g（x）=(lnx)/(x)−x，∴g′（x）=(1−lnx−x2)/(x2)，
∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
∴g（x）的最大值为g（1）=-1，∴c≥-1．
（III）∵f（x）有两个相异零点，∴设lnx₁=cx₁，lnx₂=cx₂，①
即lnx₁-lnx₂=c（x₁-x₂），
∴(lnx1−lnx)/(x1−x2)＝c，②
而x₁•x₂＞e²，等价于：lnx₁+lnx₂＞2，即c（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：(lnx1−lnx2)/(x1−x2)（x₁+x₂）＞2，
不妨设x₁＞x₂＞0，则t=(x1)/(x2)＞1，
上式转化为：lnt＞(2(t−1))/(t+1)，t＞1
设H（t）=lnt-(2(t−1))/(t+1)，t＞1，
则H′（t）=((t−1)2)/(t(t+1)2)＞0，
故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞(2(t−1))/(t+1)成立，
故所证不等式x₁•x₂＞e²成立．