已知函数g（x）=16x3+12（a-2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x1

Question

已知函数g（x）=(1)/(6)x³+(1)/(2)（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．
（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有(f(x2)−f(x1))/(x1−x2)＞a恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=((x−2)(x+a))/(x)，f（x）的定义域为（0，+∞）；
①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数；
③当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在（-a，+∞）上是增函数． 
（2）假设存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有(f(x2)−f(x1))/(x1−x2)＞a恒成立，不妨设0＜x₁＜x₂，要使(f(x2)−f(x1))/(x1−x2)＞a，即f（x₂）+ax₂＜f（x₁）+ax．
令g（x）=f（x）+ax=(1)/(2)x2−2alnx−2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上为增函数．
g′(x)＝x+2(a−1)−(2a)/(x)＝(x2+2(a−1)x−2a)/(x)，所以只要x²+2（a-1）x-2a＞0；
令x²+2（a-1）x-2a=0，∵△=4（a²+）＞0，∴该方程有两个不相等实根，要使g（x）在（0，+∞）上为增函数，则：
(−2(a−1)+√(4(a−1)2+8a))/(2)=√(a2+1)−(a−1)≤0，∵√(a2+1)＞|a|＞a−1，所以√(a2+1)−(a−1)＞0；
所以符合条件的a不存在．