已知函数f（x）=（2a2+1）ln（-x）+a（2x-1），a∈R（1）讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；（2）判断函数f（x）在[-1，-12]上的零点的个数．

Question

已知函数f（x）=（2a²+1）ln（-x）+a（2x-1），a∈R
（1）讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；
（2）判断函数f（x）在[-1，-(1)/(2)]上的零点的个数．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=（2a²+1）ln（-x）+a（2x-1），
∴-x>0，即x<0，
∴f（x）的定义域为（-∞，0）；
对f（x）求导，得f′（x）=(2a2+1)/(-x)•（-1）+2a=(2a2+1)/(x)+2a，
①当a≤0时，f′（x）<0，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；
②当a>0时，f′（x）=(2a2+1)/(x)+2a=(2ax+2a2+1)/(x)，
∴当x∈（-∞，-(2a2+1)/(2a)）时，f′（x）>0，
x∈（-(2a2+1)/(2a)，0）时，f′（x）<0，
∴f（x）在（-∞，-(2a2+1)/(2a)）上是单调增函数，在（-(2a2+1)/(2a)，0）上单调减函数；
（2）①当a=0时，f（x）=ln（-x），
令ln（-x）=0，解得x=-1，
∴f（x）在[-1，-(1)/(2)]上有一个零点；
②当a>0时，
∵(2a2+1)/(2a)-1=(2(a-(1)/(2))2+(1)/(2))/(2a)>0，
∴[-1，-(1)/(2)]⊆（-(2a2+1)/(2a)，0），
即f（x）在[-1，-(1)/(2)]上是单调减函数，
又∵f（-1）=-3a<0，
f（-(1)/(2)）=-2a-（2a²+1）ln2<0，
∴f（x）在[-1，-(1)/(2)]上没有零点；
③当a<0时，f（x）在[-1，-(1)/(2)]上单调递减，
又∵f（-1）=-3a>0，
f（-(1)/(2)）=-2a-（2a²+1）ln2<0，
∴f（x）在[-1，-(1)/(2)]上有一个零点；
综上，a≤0时，f（x）在[-1，-(1)/(2)]有一个零点，
a>0时，f（x）在[-1，-(1)/(2)]上无零点．