已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范围；（2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，求证：M≥b+1；（3）若a∈(0，12)，求证：对于任意的x∈[-1，1]，|f

Question

已知函数f（x）=x²+ax+b．
（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，求证：M≥b+1；
（3）若a∈(0，(1)/(2))，求证：对于任意的x∈[-1，1]，|f（x）|≤1的充要条件是(a2)/(4)−1≤b≤−a．

Answer 1

（1）对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，即不等式f（x）-2x-a≥0对∀x∈R恒成立，
记F（x）=x²+（a-2）x+b-a，则F（x）的最小值为F（(2−a)/(2)）=-(1)/(4)（a-2）²+b-a≥0，
即b≥1+(1)/(4)a²≥1，所以b的取值范围是[1，+∞）
（2）∵x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，
∴f（-1）≤M且f（1）≤M，即

1−a+b≤M

1+a+b≤M

，两式相加得2+2b≤2M
所以不等式M≥b+1成立；
（3）∵0＜a＜(1)/(2)，∴-(1)/(4)＜-(a)/(2)＜0，函数f（x）=x²+ax+b的图象的对称轴x=-(a)/(2)∈[-1，1]，
∴函数在[-1，-(a)/(2)）上是减函数，在（-(a)/(2)，1]上是增函数
因此函数f（x）=x²+ax+b的最小值为f（-(a)/(2)）=b-(1)/(4)a²，最大值为f（1）=1+a+b
而不等式|f（x）|≤1即-1≤f（x）≤1，它的充要条件是1+a+b≤1且-1≤b-(1)/(4)a²
解之得(1)/(4)a²-1≤b≤-a，命题得证．