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根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
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| 根据函数单调性的定义，证明函数 f ( x )=－ x 3 +1在(－∞，+∞)上是减函数． |
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答案和解析
| 证明见解析． |
| 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分． 证法一：在(－∞，+∞)上任取 x 1 ， x 2 且 x 1 <x 2 ——1分 则 f ( x 2 ) － f ( x 1 ) =  = ( x 1 － x 2 ) ( ) ——3分∵ x 1 <x 2 ，∴ x 1 －x 2 < 0． ——4分 当 x 1 x 2 <0时，有 = ( x 1 + x 2 ) 2 － x 1 x 2 >0； ——6分当 x 1 x 2 ≥0时，有 >0；∴ f ( x 2 )－ f ( x 1 )= ( x 1 － x 2 )( )<0． ——8分即 f ( x 2 ) < f ( x 1 )，所以，函数 f ( x )=－ x 3 +1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分 证法二：在(－∞，+∞)上任取 x 1 ， x 2 ，且 x 1 < x 2 ， ——1分 则 f ( x 2 )－ f ( x 1 )= x  － x = ( x 1 －x 2 ) ( )． ——3分∵ x 1 <x 2 ，∴ x 1 －x 2 < 0． ——4分 ∵ x 1 ， x 2 不同时为零，∴ x  ＋ x >0．又∵ x ＋ x > ( x ＋ x )≥| x 1 x 2 |≥－ x 1 x 2 。 ∴ >0，∴ f ( x 2 )－ f ( x 1 ) = ( x 1 －x 2 ) ( )<0． ——8分即 f ( x 2 ) < f ( x 1 )．所以，函数 f ( x )=－ x 3 +1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分 |
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