f(x)定义在R的函数,对x,y∈R,都有f（x+y)=f(x)+f(y),若x＞0,f（x）＜0,f（-1）=2（1）求证f（x）在R为减函数（2）求f（x）在-2,4的最值.

Question

f(x)定义在R的函数,对x,y∈R,都有f（x+y)=f(x)+f(y),若x＞0,f（x）＜0,f（-1）=2
（1）求证f（x）在R为减函数 （2）求f（x）在【-2,4】的最值.

Answer 1

函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
令：x=y=0代入可得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x代入可得：f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(0)=f(x)+f(-x), 从而 f(x)+f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
设任意实数x1,x2,且x1＜x2
则有：f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
由已知条件,x＞0时,有f(x)＜0；
现在x2-x1＞0,所以得到f(x2-x1)＜0,
即f(x2)-f(x1)＜0,由于x1＜x2,且都是实数.
f(x)在R上是减函数.
第二问
因为f(x)在R上是减函数.
所以
最小值(f(4)=f(3)-2=f(2)-4=f(-1)-8=-6
最大值f(-2)=f(-1)+2=4