设函数f（x）=-x2+（m-2）x+2-m．（1）若y=|f（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）是否存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，

Question

设函数f（x）=-x²+（m-2）x+2-m．
（1）若y=|f（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
（2）是否存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）函数f（x）=-x²+（m-2）x+2-m的对称轴为x=(m−2)/(2)，
由于y=|f（x）|在[-1，0]上是减函数，则
①

(m−2)/(2)≤−1

f(0)＝2−m≥0

即有

m≤0

m≤2

，②

(m−2)/(2)≥0

f(0)＝2−m≤0

即有m≥2．
综上，m≤0或m≥2；
（2）假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．
则f（a）=a，f（b）=a，a≤f（(m−2)/(2)）≤b，
即有-a²+（m-2）a+2-m=a①，-b²+（m-2）b+2-m=a②，a≤(m2−8m+12)/(4)≤b③
①-②可得a+b=m-2，代入①得-a²+a（a+b）-（a+b）=a，
再化简得（a-1）（b-2）=2，因为a、b均为整数，所以a=2，b=4或a=-1，b=1．
当a=2，b=4时，③即2≤(82−82+12)/(4)≤4成立；当a=-1，b=1时，③即-1≤

作业帮用户 2016-12-15

问题解析

（1）求出函数的对称轴，由于y=|f（x）|在[-1，0]上是减函数，则讨论区间在对称轴的右边，且f（0）不小于0，区间在对称轴的左边，且f（0）不大于0．解出它们即可；
（2）假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．则f（a）=a，f（b）=a，a≤f（(m−2)/(2)）≤b，由f（a）=f（b）=a，解出整数a，b，再代入不等式检验即可．

名师点评

本题考点：

带绝对值的函数；其他不等式的解法．

考点点评：

本题考查二次函数的单调性及运用，以及含绝对值的二次函数的单调性，考查分类讨论的思想方法，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

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