对于线性方程组AX=b,AX=0,下列命题正确的是?A若AX=0只有零解,则AX=b必有唯一解B若AX=b有唯一解,则AX=0只有零解C若AX=0有无穷多解,则AX=b必有无穷多解D若AX=b无解,则AX=0也无解E以上都不对请分别

Question

对于线性方程组AX=b,AX=0,下列命题正确的是?
A若AX=0只有零解,则AX=b必有唯一解 B若AX=b有唯一解,则AX=0只有零解 C若AX=0有无穷多解,则AX=b必有无穷多解 D若AX=b无解,则AX=0也无解 E以上都不对 请分别说明!

Answer 1

B正确. 设A是m×n矩阵. A、若AX=0只有零解,则AX=b必有唯一解 AX=0只有零解,说明r(A)＝n,增广矩阵(A,b)是m×(n+1)矩阵,若m＝n,则A可逆,方程组Ax＝b有解,且解唯一；若m>n,则r(A,b)是有可能大于r(A)的,方程组Ax＝b就无解了. 例子： x1-x2＝0 x1+x2＝0 x1+2x2＝0 只有零解,若取b＝（0,0,1）,则Ax＝b无解 B、若AX=b有唯一解,则AX=0只有零解 AX＝b有唯一解,则r(A)＝r(A,b)＝n,所以方程组AX=0只有零解. C、若AX=0有无穷多解,则AX=b必有无穷多解 Ax＝0有无穷多解,则r(A)