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已知函数f(x)=ekx−1x+1(e是自然对数的底数).(1)若函数f(x)是(-1,+∞)上的增函数,求k的取值范围;(2)若对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<x+1,求满足条件的最大整数k的值

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已知函数f(x)=e
kx−1
x+1
(e是自然对数的底数).
(1)若函数f(x)是(-1,+∞)上的增函数,求k的取值范围;
(2)若对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<x+1,求满足条件的最大整数k的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)设g(x)=
kx−1
x+1
,导数g′(x)=
k(x+1)−kx+1
(x+1)2
=
k+1
(x+1)2

由于f(x))是(-1,+∞)上的增函数,且e>1,则g(x))是(-1,+∞)上的增函数,
即有g′(x)≥0,即有k≥-1,即k的取值范围是[-1,+∞);
(2)由条件可得,f(1)<2,即e
k−1
2
<2,即有k<1+2ln2<3,猜想满足条件的最大整数k=2.
证明:对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<x+1.
e
2x−1
x+1
<x+1⇔2-
3
x+1
<ln(x+1)⇔ln(x+1)+
3
x+1
>2,
设h(x)=ln(x+1)+
3
x+1
,则h′(x)=
1
x+1
3
(x+1)2
=
x−2
(x+1)2

当0<x<2时,h′(x)<0,当x>2时,h′(x)>0,
则∀x>0,则h(x)≥h(2)=1+ln3>2,
即有对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<x+1.
则满足条件的最大整数k=2.