高等代数重因式一个定理推论的证明,如果不可约多项式p(x)是f(x)的k(k≥1)重因式,那么p(x)分别是f'(x),f''(x)...f(k-1)(x)的k-1,k-2,...,1重因式,但不是f(k)（x）的因式.

Question

高等代数重因式一个定理推论的证明,
如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式,那么p(x) 分别是f'(x),f''(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式,但不是f(k)（x） 的因式.

Answer 1

如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式,意味着f(x)=p^k(x)h(x),其中(p(x),h(x))=1.直接计算有f'(x)=kp^{k-1}(x)p'(x)h(x)+p^k(x)h'(x)=p^{k-1}h_1(x),则p(x)不整除h_1(x).由p(x)不可约,故p(x)是f'(x)的k-1重因式.对f'(x)重复上述过程,即得结论.