（2014•厦门一模）已知函数f（x）=x+3a2x-2alnx在区间（1，2）内是增函数，则实数a的取值范围是-1≤a≤13；-1≤a≤13；．

Question

（2014•厦门一模）已知函数f（x）=x+(3a2)/(x)-2alnx在区间（1，2）内是增函数，则实数a的取值范围是

-1≤a≤(1)/(3)；

-1≤a≤(1)/(3)；

．

Answer 1

∵f′（x）=1-(3a2)/(x2)-(2a)/(x)=(x2−2ax−3a2)/(x2)
  要使函数f（x）=x+(3a2)/(x)-2alnx在区间（1，2）内是增函数，需f′（x）≥0在（1，2）上恒成立；
  即(x2−2ax−3a2)/(x2)≥0在（1，2）上恒成立，
  即x²-2ax-3a²≥0在（1，2）上恒成立，
  设h（x）=x²-2ax-3a²，则它的对称轴为x=a，
  ①当a≤1时，h（1）=1-2a-3a²≥0，解得-1≤a≤(1)/(3)；
  ②当1＜a＜2时，△=4a²+12a²≤0，a不存在；
  ③当a≥2时，h（2）=4-4a-3a²≥0，a不存在；
综上可知，a的取值范围是-1≤a≤(1)/(3)．
故答案为：-1≤a≤(1)/(3)．