练习十五2．设x1,x2,…,x1998都是+1或者-1．求证：x1+2x2+3x3+…+1998x1998≠0．3．设x1,x2,…,xn(n＞4)为1或-1,并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0．求证：n是4的倍数．4．(1)任意重排某一自然数的所有数字,求

Question

练习十五
2．设x1,x2,…,x1998都是+1或者-1．求证：
x1+2x2+3x3+…+1998x1998≠0．
3．设x1,x2,…,xn(n＞4)为1或-1,并且
x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0．
求证：n是4的倍数．
4．(1)任意重排某一自然数的所有数字,求证：所得数与原数之和不等于99…9(共n个9,n是奇数)；
(2)重排某一数的所有数字,并把所得数与原数相加,求证：如果这个和等于1010,那么原数能被10整除．
(3)设n是4的倍数,求证：可以找到n个整数,其积为n,其和为零．
6．7个杯子杯口朝下放在桌子上,每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上,杯口朝上的翻为杯口朝下),问经过若干次这样的翻动,是否能把全部杯子翻成杯口朝上?
7．能否把1,1,2,2,3,3,4,4,5,5这10个数排成一行,使得两个1中间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,…,两个5之间夹着5个数?

Answer 1

2.设x1+2x2+3x3+…+1998x1998中 x1为第一项 2x2为第二项. 1998x1998为第一九九八项
其中所有正数项的和为S1
所有负数项的和为S2
则|S1|+|S2|=1+2+3+...+1998=1999*999 是一个奇数
故|S1|≠|S2| 故S1+S2≠0
3.因为x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0
中有n项 每一项为1或-1
所以n为二的倍数
6.不能,
设把一个杯子翻动一下为一次
把所有杯子翻上来须7次
此时再翻偶数次才能将杯子保持杯口朝上
即把全部杯子翻成杯口朝上须奇数次
条件中却只能翻转4n次（n为正整数）
显然不行
7.