设函数f（x）定义在开区间（a，b）内，若对任意的c∈（a，b），都有limx→cf（x）存在，且limx→a+f（x）和limx→b+f（x）也存在，则f（x）在开区间（a，b）内有界．

Question

设函数f（x）定义在开区间（a，b）内，若对任意的c∈（a，b），都有

lim

x→c

f（x）存在，且

lim

x→a+

f（x）
和

lim

x→b+

f（x）也存在，则f（x）在开区间（a，b）内有界．

Answer 1

证明：由设

lim

x→c

f（x）=p，任意的c∈（a，b），则
对任意的ɛ>0，∃δ>0，∀x：0<|x-c|<δ，p-ɛ<f（x）<p+ɛ
取M=max{|p+ɛ|，|p-ɛ|，|f（c）|}，使得|f（x）|≤M，x∈∪（c，δ）
因此，f（x）在（a，b）的内部有界
又由

lim

x→a+

f（x）存在，得
∃M_a>0，δ_a>0，使得|f（x）|≤M_a，x∈（a，a+δ_a），即f（x）在a的右邻域有界
同理由

lim

x→b+

f（x）存在，得
∃M_b>0，δ_b>0，使得|f（x）|≤M_b，x∈（b-δ_b，b），即f（x）在b的左邻域有界
综上，f（x）在开区间（a，b）内有界．