对定义在区间I上的函数f（x），若存在开区间（a，b）⊊I和常数C，使得对任意的x∈（a，b）都有-C<f（x）<C，且对对任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，则称函数f（x）为区间I上的

Question

对定义在区间I上的函数f（x），若存在开区间（a，b）⊊I和常数C，使得对任意的x∈（a，b）都有-C<f（x）<C，且对对任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，则称函数f（x）为区间I上的“Z型”函数，给出下列函数：①f(x)=

2，x≤1

4-2x，1<x<3

-2，x≥3

；②f(x)=√(x)；③f（x）=|sinx|；④f（x）=x+cosx．其中在定义域上是“Z型”函数的为（　　）

A. ①

B. ①②

C. ②③

D. ③④

Answer 1

①当x∈（1，3）时，f（x）=4-2x，则-2当x∈[3，+∞）时，f（x）=-2，当x∈（-∞，1]时，f（x）=2，
∴|f（x）|=2；即满足对任意的x∈（1，3）都有-C即①为R上的“Z型”函数，故正确；
②④在x取无穷大时，函数值也为无穷大，故不存在对任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故不是“Z型”函数，错误；
③根据函数的图象知函数为周期函数，虽然有最值，但不符合题中的条件，不满足对任意的x∈（a，b）都有-C故选A．