设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=13（i=-1，0，1），Y的概率密度为fY（y）=10≤y≤10其它，记Z=X+Y，（1）求P{z≤12|X=0}．（2）求z的概率密度fz（z）．

Question

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=(1)/(3)（i=-1，0，1），Y的概率密度为f_Y（y）=

1   0≤y≤1

0   其它

，记Z=X+Y，
（ 1）求P{z≤(1)/(2)|X=0}．
（2）求z的概率密度f_z（z）．

Answer 1

（I）
【解法1】
P(Z≤(1)/(2)|X＝0)=P(X+Y≤(1)/(2)|X＝0)=P(Y≤(1)/(2)|X＝0)=P(Y≤(1)/(2))=(1)/(2)．

【解法2】
P(Z≤(1)/(2)|X＝0)=(P(X+Y≤(1)/(2)，X＝0))/(P(X＝0))=(P(Y≤(1)/(2)，X＝0))/(P(X＝0))=P(Y≤(1)/(2))=(1)/(2)．

（II）
【解法1】
因为：
F_Z（z）=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=P{X+Y≤z，X=-1}+P{X+Y≤z，X=0}+P{X+Y≤z，X=1}
=P{Y≤z+1}P{X=-1}+P{Y≤z}P{X=0}+P{Y≤z-1}P{X=1}
=(1)/(3)[P{Y≤z+1}+P{Y≤z}+P{Y≤z-1}]
=(1)/(3)[F_Y（z+1）+F_Y（z）+F_Y（z-1）]，
所以：
f_Z（z）=F_Z′（z）=(1)/(3)[f_Y（z+1）+f_Y（z）+f_Y（z-1）]=

(1)/(3)  −1＜x＜2

0    其他

．

【解法2】
f_Z（z）=

1

i＝−1

P(X＝i)fY(z−i)=(1)/(3)[f_Y（z+1）+f_Y（z）+f_Y（z-1）]=

作业帮用户 2017-11-14

问题解析

（1）结合条件概率与独立事件的概率计算公式计算即可；（2）可以先计算Z的分布函数，求导即得z的概率密度；也可以由全概率公式进行计算．

名师点评

本题考点：

二维均匀分布的概率密度；独立事件的概率计算；二维均匀分布的分布函数．

考点点评：

因为X与Y相互独立，所以 P(Y≤(1)/(2)|X＝0)=P(Y≤(1)/(2))．

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