设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．（1）判断f(x)=3x

Question

设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x ₁ ，x ₂ 都有 f((x1 +x2)/(2) )≤(1)/(2) [f( x 1 )+f( x 2 )] 成立，则f（x）称为I上的凹函数．
（1）判断 f(x)=(3)/(x) (x＞0) 是否为凹函数？
（2）已知函数f ₂ （x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；
（3）设定义在R上的函数f ₃ （x）满足对于任意实数x，y都有f ₃ （x+y）=f ₃ （x）•f ₃ （y）．求证：f ₃ （x）为R上的凹函数．

Answer 1

（1）f（x）是凹函数，证明如下：
∀x ₁ ，x ₂ ∈（0，+∞），∵ (1)/(2) [f( x 1 )+f( x 2 )] = (1)/(2) ((3)/(x1) +(3)/(x2) ) ≥(3)/(x1 x2) ≥(3)/((x1 + x2)/(2)) = f((x1 + x2)/(2) )
∴ f((x1 + x2)/(2) )≤(1)/(2) [f( x 1 )+f( x 2 )] ，
∴ f(x)=(3)/(x) (x＞0) 是凹函数
（2）∵函数f ₂ （x）=x|ax-3|=

a x 2 -3x    ax≥3

-a x 2 +3x  ax＜3

结合二次函数的图象，要想使函数f ₂ （x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或

a＞0

(3)/(a) ≤3

∴a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）证明：设∀x ₁ ，x ₂ ∈R
f 3 ( x 1 )+ f 3 ( x 2 )= f 3 ((x1)/(2) +(x1)/(2) )+ f 3 ((x2)/(2) +(x2)/(2) )
= f 3 2 ((x1)/(2) )+ f 3 2 ((x2)/(2) )≥2 f 3 ((x1)/(2) )• f 3 ((x2)/(2) )=2 f 3 ((x1 + x2)/(2) )
即 (f3 ( x1 )+ f3 ( x2 ))/(2) ≥ f 3 ((x1 + x2)/(2) )
故f ₃ （x）为R上的凹函数