将函数fx=1/x^2展开成x+1的幂函数

Question

将函数fx=1/x^2展开成x+1的幂函数

Answer 1

函数f(x)展开成泰勒级数：
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+1/2!*f''(x0)*(x-x0)^2+...+1/n!*f(n)(x0)*(x-x0)^n
（其中f(n)(x0)为f(x)的n阶导数在x=x0处的值）
此题中,展开成x+1的幂级数,则x0=-1
f(x)=1/x^2=x^(-2), f(x0)=f(-1)=1, f(x0)/0!=1
f'(x)=-2x^(-3), f'(x0)=f'(-1)=-2*(-1)=2, f'(x0)/1!=2
f''(x)=2*3x^(-4), f''(x0)=f''(-1)=2*3*1=6, f''(x0)/2!=3
.
f(n)(x)=(-1)^n*(n+1)!*x^(2-n), f(n)(x0)=f(n)(-1)=(n+1)!, f(n)(x0)/n!=n+1
∴展开后的展开式为
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+1/2!*f''(x0)*(x-x0)^2+...+1/n!*f(n)(x0)*(x-x0)^n
=1+2*(x+1)+3*(x+1)^2+...+(n+1)*(x+1)^n