1.求幂级数x/(1*3)+(x^2)/(2*3^2)+(x^3)/(3*3^3)+...+(x^n)/(n*3^n)+...的收敛域.2.将函数f(x)=1/(x^2+3x+2)展开成x的幂级数.请看清题,电脑打字不太方便表达.只有这点财富值了,回答完整的再加分.

Question

1.求幂级数 x/(1*3)+(x^2)/(2*3^2)+(x^3)/(3*3^3)+...+(x^n)/(n*3^n)+...的收敛域.
2.将函数 f(x)=1/(x^2+3x+2)展开成x的幂级数.
请看清题,电脑打字不太方便表达.只有这点财富值了,回答完整的再加分.

Answer 1

1、通项的系数an=1/(n*3^n),a(n+1)/an=n/(3n+3)→1/3(n→∞),所以收敛半径R=1/(1/3)=3,收敛区间是(-3,-3).
x=3时,幂级数变为∑1/n,发散.
x=-3时,幂级数变为∑1(-1)^n/n,由莱布尼兹定理,级数收敛.
所以,收敛域是[-3,3).
2、f(x)=1/((x+1)(x+2))=1/(1+x)-1/(2+x)=1/(1+x)-1/2×1/(1+x/2)
1/(1+x)=∑(-1)^n*x^n,-1＜x＜1.
1/(1+x/2)=∑(-1)^n*x^n/2^n,-2＜x＜2.
所以,f(x)=∑(-1)^n*x^n - 1/2×∑(-1)^n*x^n/2^n=∑(-1)^n*(1-1/2^(n+1))x^n.收敛范围是-1＜x＜1.