问个高数幂级数问题,我在做幂级数展开的题目时,不知道什么时候加（-1）^n,什么时候不加,比如将1/（x^2+4x+3)展开成(x-1)的幂级数,下面展开的2项都加了（-1）^n,而1/(x^2+3x+2)展开成(x+4)的幂级数

Question

问个高数幂级数问题,
我在做幂级数展开的题目时,不知道什么时候加（-1）^n,什么时候不加,比如将1/（x^2+4x+3)展开成(x-1)的幂级数,下面展开的2项都加了（-1）^n,而1/(x^2+3x+2)展开成(x+4)的幂级数就都没有加,到底是怎么确定的?

Answer 1

1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4...=1+(-1)^n*x^n...(1)
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4...=1+x^n...(2)
(1)式要加,（2）式不加.因为（1）式 1/(1+x)=1/(1-(-1)x)把(-1)x当级数展开,肯定带（-1）^n.（2）式1/(1-x)=1/(1-(+1)x) （+1）^n总是正的,当然不加了.
1/（x^2+4x+3)=1/[(x-1)^2+6(x-1)+8]=0.125*1/[1+(x-1)^2/8+0.75(x-1)]属于（1）式情形,所以加（-1）^n.
1/(x^2+3x+2)=1/[(x+4)^2-5(x+4)-4]=-0.25*1/{1-[(x+4)^2/4-5(x+4)/4]}属于（2）式情形,所以不加（-1）^n.
楼主要记住：函数用幂级数展开,跟原来的函数定义域可不一样.幂级数是有收敛半径的.在收敛半径外,幂级数就跟原来的函数不一样了.