（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=2x+a2x−a．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

Question

（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=(2x+a)/(2x−a)．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

（1）∵a=4，
∴f(x)＝(2x+4)/(2x−4)＝y
∴2x＝(4y+4)/(y−1)，
∴x＝log2(4y+4)/(y−1)，
∴调换x，y的位置可得y＝f−1(x)＝log2(4x+4)/(x−1)，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x）对任意x均成立，
∴(2x+a)/(2x−a)=(2−x+a)/(2−x−a)，整理可得a（2^x-2^-x）=0．
∵2^x-2^-x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）对任意x均成立，
∴(2x+a)/(2x−a)=-(2−x+a)/(2−x−a)，整理可得a²-1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=(2x+1)/(2x−1)，x≠0，满足条件；
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．