函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)＝1−sinx+1+sinx的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[-π，2π

Question

函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)＝√(1−sinx)+√(1+sinx)的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[-π，2π]上的图象．

性质	理由	结论	得分
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
对称性
作图

Answer 1

∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R上恒成立
∴函数的定义域为R；
∵f2(x)＝(√(1−sinx)+√(1+sinx))2=2+2|cosx|
∴由|cosx|∈[0，1]，f²（x）∈[2，4]，可得函数的值域为[√(2)，2]；
∵f(x+π)＝√(1+sinx)+√(1−sinx)=f（x）
∴函数的最小正周期为π
∵当x∈[0，(π)/(2)]时，f(x)＝√(1−sinx)+√(1+sinx)=2cos(x)/(2)，在[0，(π)/(2)]上为减函数
当x∈[(π)/(2)，π]时，f(x)＝

作业帮用户 2017-11-05

问题解析

由正弦函数的最大最小值，可得函数的定义域为R；由平方法结合余弦函数的有界性，得到函数的值域为[√(2)，2]；由函数周期性的定义加以验证，得到函数的最小正周期为π；讨论函数在区间[0，π]上的单调性，结合函数的周期可得函数在R上的单调区间；最后根据函数奇偶性的定义和轴对称的有关公式，算出f（x）在其定义域上为偶函数，图象关于直线x＝(kπ)/(2)对称．由此即可得到本题的答案．

名师点评

本题考点：

正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：

本题给出根号下含有三角函数式的函数，求函数的单调性、周期性、奇偶性，并求函数的单调区间和值域．着重考查了三角函数的值域、正余弦函数的图象与性质和函数图象对称轴的求法等知识，属于中档题．

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