如图，抛物线y=ax2+4与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，AB=4．（1）求抛物线的解析式；（2）以AC为直角边作等腰直角△ACD，AD交抛物线于点P，求点P的坐标．

Question

如图，抛物线y=ax²+4与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，AB=4．
（1）求抛物线的解析式； 
（2）以AC为直角边作等腰直角△ACD，AD交抛物线于点P，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+4与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∵AB=4，
∴A（-2，0），B（2，0），
∴4a+4=0，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4；

（2）方法一：设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（0，4），
∴

−2k+b＝0

b＝4

，解得

k＝2

b＝4

，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，AC=√((−2)2+42)=2√(5)，
当CD⊥AC时，
设直线CD的解析式为y=-(1)/(2)x+a，
∵C（0，4），
∴a=4，
∴直线CD的解析式为y=-(1)/(2)x+4，
设D（x，-(1)/(2)x+4），
∵AC=CD，
∴CD²=AC²，即x²+（-(1)/(2)x）²=20，解得x=4或x=-4（舍去）
∴D（4，2），
设直线AD的解析式为y=k₁x+b₁，
∴

作业帮用户 2017-11-14

问题解析

（1）先根据抛物线y=ax²+4得出C点坐标，再根据AB=4求出A、B两点的坐标，再把A点坐标代入抛物y=ax²+4即可得出结论；
（2）先根据A、C两点的坐标求出直线AC的解析式及AC的长，当CD⊥AC时，利用待定系数法求出直线AD的解析式，由AC=CD可得出D点坐标，进而得出直线AD的解析式，求出直线AD与抛物线的交点坐标即可；当AD⊥AC时，同理可得出结论．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式等知识，在解答（2）时要进行分类讨论．

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