已知顶点为C（0,1）抛物线经过点A（-2,0）(1)求抛物线解析式（2)点D是抛物线上一点,且点D横坐标为-4,点E在y轴纵坐标上,OE=OD.请说明直线DE与该抛物线只有唯一一个公共点（3）点P从C点沿着y轴

Question

已知顶点为C（0,1）抛物线经过点A（-2,0）
(1)求抛物线解析式
（2)点D是抛物线上一点,且点D横坐标为-4,点E在y轴纵坐标上,OE=OD.请说明直线DE与该抛物线只有唯一一个公共点
（3）点P从C点沿着y轴正方向运动,过P点画经过第一二四象限的直线l,直线l与抛物线交点为Q,点M是线段PQ的中点.试探求线段OM、OP之间的数量关系

Answer 1

答：
（1）因为顶点C（0,1）,故设抛物线为y=ax²+1,点A（-2,0）代入得：
0=a*(-2)²+1,解得：a=-1/4
所以：抛物线的解析式为y=-x²/4+1
（2）点D横坐标为x=-4,代入抛物线y=-x²/4+1得：y=-3
所以：点D（-4,-3）；OD=√[(-4)²+(-3)²]=5
因为：OE=OD=5,点E在y轴正半轴上
所以：点E为（0,5）；直线DE为：y-5=(x-0)(-3-5)/(-4-0)=2x,y=2x+5.
联立抛物线方程y=-x²/4+1整理得：
x²+8x+16=0
解得：x=-4,y=-3即为点D.所以：DE直线与抛物线仅有一个交点.
（3）设点P为（0,p）,p>=1.过点P的直线经过第一、二和四象限,则斜率k=1.
x=-2k,y=kx+p=-2k²+p=-2(p-1)+p=2-p
所以：点Q为（-2k,2-p)
所以：PQ的中点M（-k,1）
OM²=(-k)²+1²=k²+1=p=OP
所以：OP=OM²