已知函数f（x）=ex-2x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线f（x）在点（0，f（0））的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x∈[12，2]使不等式f（x）＜mx成立，求实数m

Question

已知函数f（x）=e^x-2x（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x∈[(1)/(2) ， 2]使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，
所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a．
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；
当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．
（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．
因为M∩P≠∅，
所以f（x）＜mx在[(1)/(2)，2]有解，即使f（x）＜mx成立，
即∃x∈[(1)/(2)，2]，使m＞(ex−2x)/(x)成立，
∴m＞(ex−2x)/(x)_min，
令g（x）_min=(ex)/(x)-2，g′（x）=((x−1)e2)/(x2)，
∴g（x）在上[(1)/(2)，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，
则g（x）_min=g（1）=e-2，
所以m∈（e-2，+∞）．