高中数学重要函数极限的证明Lim(1+1/n)n如何证?如题当N--->无穷大时(1+1/n)^n的值--->自然对数底如何证明给个清晰的网页连结最好还有数学书上没给出证明问老师老师说要用到高数所以请教

Question

高中数学重要函数极限的证明Lim(1+1/n)n如何证?
如题
当N--->无穷大时
(1+1/n)^n的值--->自然对数底
如何证明
给个清晰的网页连结最好
还有
数学书上没给出证明
问老师老师说要用到高数
所以请教

Answer 1

首先需要二项式定理：
（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）
用数学归纳法证此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
 a+b
 故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，（式一）成立 ，即：
（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）
则，当n=n1+1时:
式二两端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
=> (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)

因此二项式定理（即式一成立）
下面用二项式定理计算这一极限：
（1+1/n）^n （式一）
用二项式展开得：
（1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与（1/n）的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与（1/n）的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n -> +∞,得0。因此总的结果是当n -> +∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与（1/n）的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
（1+1/n）^n =1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+ … + 1/n！ （式二）
当n -> +∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
补充：
将式二和公比为1/2的等比数列比较，其每一项都小于此等比数列，而此等比数列收敛，因此，式二必定收敛于一固定数值。