关于二次函数的所有知识关于二次函数的所有知识根的判别式开口方向怎么确定怎样求最大值最小值怎样确定顶点坐标越详细越好谢谢

Question

关于二次函数的所有知识关于二次函数的所有知识 根的判别式 开口方向怎么确定 怎样求最大值最小值 怎样确定顶点坐标 越详细越好 谢谢

Answer 1

一、定义 一般地，形如y＝ax 2 ＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，y是x的函数．二次函数表达式的右边通常为二次三项式． 二、二次函数的三种表达式 一般式：y＝ax 2 ＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． 顶点式：y＝a(x－h) 2 ＋k ，抛物线的顶点为P(h，k)，对于二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c，其顶点坐标为(－b/2a，(4ac－b 2 )/4a)． 交点式：y＝a(x－x 1 )(x－x 2 ) ，此时仅限于与x轴有交点A(x 1 ，0)和B(x 2 ，0)的抛物线，其中x 1 ＝(－b±√b 2 －4ac)/2a，x 2 ＝(－b±√b 2 －4ac)/2a． 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h＝－b/2a＝(x 1 ＋x 2 )/2，k＝(4ac－b 2 )/4a； 与x轴交点：x 1 ，x 2 ＝(－b±√b 2 －4ac)/2a． 三、二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x 2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线． ★四、抛物线的性质 1．抛物线是轴对称图形．对称轴为直线x＝－b/2a． 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P． 特别地，当b＝0时，抛物线的对称轴是y轴，即直线x＝0，此时函数解析式变形为y＝ax 2 ＋c(a≠0)． 2．抛物线有一个顶点P，坐标为P (－b/2a ，(4ac－b 2 )/4a ) ． 当－b/2a＝0时，P在y轴上； 当Δ＝ b 2 －4ac＝0时，P在x轴上． 3．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口； 当a＜0时，抛物线向下开口． |a|越大，则抛物线的开口越小． 当a＞0时，函数在x＝－b/2a处取得最小值f(－b/2a)＝(4ac－b 2 )/4a； 当a＜0时，函数在x＝－b/2a处取得最大值f(－b/2a)＝(4ac－b 2 )/4a． 4．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右． 5．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于(0，c)． 6．抛物线与x轴交点个数 Δ＝b 2 －4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点． Δ＝b 2 －4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点． Δ＝b 2 －4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 7．函数值的变化特征 若a＞0，抛物线开口向上，当x＜－b/2a时，y随着x的增大而减小； 当x＞－b/2a时，y随着x的增大而增大；函数值y≥(4ac－b 2 )/4a． 若a＜0，抛物线开口向下，当x＜－b/2a时，y随着x的增大而增大； 当x＞－b/2a时，y随着x的增大而减小；函数值y≤(4ac－b 2 )/4a．