已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为33，直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(3)，直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．

Answer 1

（1）由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切．
∴b＝(2)/(√(2))＝√(2)，
由e＝(√(3))/(3)得(√(3))/(3)＝√(1−(2)/(a2))⇒a＝√(3)，
∴椭圆方程为(x2)/(3)+(y2)/(2)＝1．
（2）

作业帮用户 2017-10-30 举报

问题解析

（1）由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切．可得b＝(2)/(√(2))＝√(2)，再利用e＝(c)/(a)＝√(1−(b2)/(a2))即可得出．
（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

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