如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C：构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得，若存

Question

如图，在由圆O：x ² +y ² =1和椭圆C： 构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为 ，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得 ，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)由题意可得 ，解得：a ² =3，
所以所求椭圆C的方程为 。
(2)假设存在直线l，使得 ，
易得当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l的方程为y=kx+b，
由直线l与圆O相切，可得b ² =k ² +1， ①
把直线y=kx+b代入椭圆C： 中，
整理得： ，
则 ，


，②
由①②两式得 ，
故存在直线l，其方程为 。