证明数域p中fx与gx不全为零且fx=dxf1xgx=dxg1x证明dx是fx和gx的最大公因式的充分必要条件是（f1xg1x）=1

Question

证明数域p中fx与gx不全为零且fx=dxf1xgx=dxg1x证明dx是fx和gx的最大公因式的充分必要条件是（f1xg1x）=1

Answer 1

1、若（f(x),g(x)）=d（x）
因为f(x)=d(x)f1(x) ,g(x)=d(x)g1(x)
所以（f(x),g(x)）=(d(x)f1(x),d(x)g1(x))=（d(x)）（f1(x),g1(x)）=d（x）
则 （f1(x),g1(x)）=1
2、若（f1(x),g1(x)）=1
f1(X)=f(X)/d(x) g1(x)=g(x)/d(x)
所以（f1(x),g1(x)）=(f(X)/d(x),g(x)/d(x))=1/(d(x))(f(x),g(x))=1 （相当于f(x)g(x)除以d(x)等于1）
即：(f(x),g(x))=d（x）
所以d（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式