设a,b,c为三角形ABC的三边,且二次三项式x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有公因式,证明：三角形ABC为等边三角形.公因式为一次公因式上面打错了：证明ABC为直角三角形

Question

设a,b,c为三角形ABC的三边,且二次三项式x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有公因式,证明：三角形ABC为等边三角形.
公因式为 一次公因式
上面打错了：证明ABC为直角三角形

Answer 1

证明：设一次公因式为x-m,所以当x = m时,x^2+2ax+b^2和x^2+2cx-b^2的值都为0（x-m是两个式子的因式,0乘以任何数都为0）
所以m^2+2am+b^2 = 0,m^2+2cm-b^2 = 0
两式相减得2(am-cm+b^2) = 0即(c-a)m = b^2 (1)
两式相加得2(m^2+am+cm) = 0即(a+c+m)m = 0 (2)
如果m = 0,由（1）式可得b = 0,而b不能等于0,故m不等于0
于是（2）式两边同时除以m可得a+c+m = 0,m = -(a+c) （3）
将（3）代入（1）可得a^2-c^2 = b^2
由勾股定理可知 ABC为直角三角形
有什么问题可以追问呀,明白了的话给个最佳答案呀\(^o^)/