1.f(x)为二次多项式,且f(2004)=1,f(2005)=2,f(2006)=7,则f(2008)=?答案给的是设f(x)=a(x-2004)(x-2005)+b(x-2004)+1我的问题是为什么可以这样设?有什么公式吗?2.设多项式f(x)除以x-10,x^2-2x+3的余式分别为2,4x+6则f(x)

Question

1.f(x)为二次多项式,且f(2004)=1,f(2005)=2,f(2006)=7,则f(2008)=?
答案给的是设f(x)=a(x-2004)(x-2005)+b(x-2004)+1
我的问题是为什么可以这样设?有什么公式吗?
2.设多项式f(x)除以x-10,x^2-2x+3的余式分别为2,4x+6 则f(x)除以（x-1）(x^2-2x+3)的余式为?
答案是设f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)q(x)+a(x^2-2x+3)+4x+6
问题也是为什么可以这样设

Answer 1

根据题中给出的备选答案：
1、设置“零因子”可以使问题的求解过程变得最简单.
一元二次多项式f(x)=二次项 + 一次项 + 常数项
当x1=2004时,f(x)=1.最简单的,假定：多项式的一次项和二次项都为零,只有常数项为1,则
f(x)=二次项+一次项+1
即令一次项和二次项都含有(x-2004)的因子.所以一次项设为b(x-2004),二次项设为a(x-2004)*M,M是x的一次多项式,可表示为(x-x0)的形式,则函数表达式为
f(x)=a(x-2004)*M+b(x-2004)+1=a(x-2004)*(x-x0)+b(x-2004)+1
当x2=2005 时,f(x)=2,是一个简单常数,此时若令多项式某项的值为零,可使问题最简化,
很显然,在x2=2005 时,(x2-2004)=1≠0,常数项不可能为0,一次项也不可能为零.
唯一地,只有令二次项的因子M=0,即令2005-x0=0
所以x0=2005
即M=x-2005,由此得到最简化运算的最简单的多项式表达式
f(x)=a(x-2004)*(x-2005)+b(x-2004)+1
由题意：f(2004)=1
f(2005)=b+1=2 b=1 f(x)=a(x-2004)*(x-2005)+(x-2004)+1
f(2006)=a(2006-2004)*(2006-2005)+(2006-2004)+1
=a*2+3
=7
即2a+3=7 a=2 f(x)=2(x-2004)*(x-2005)+(x-2004)+1
f(2008)=2*(2008-2004)*(2008-2005)+(2008-2004)+1
=2*4*3+4+1
=29
设多项式f(x)除以x-10,x^2-2x+3的余式分别为2,4x+6 则f(x)除以（x-1）(x^2-2x+3)的余式为?
答案是设f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)q(x)+a(x^2-2x+3)+4x+6
问题也是为什么可以这样设
2、首先,f(x)除以x-10的余式为2,所以多项式f(x)-2可以被(x-10)分解因式,
f(x)是(x-10)的高阶多项式,
因为(x-10)与(x-1)为同阶多项式,很显然f(x)也是(x-1)的高阶多项式
其次,f(x)除以x^2-2x+3的余式为4x+6 ,多项式f(x)-(4x+6)可以被（x²-2x+3）分解因式；
f(x)是(x²-2x+3)的高阶多项式,
欲求f(x)被(x-1)*(x²-2x+3)除,
应当假定f(x)为(x-1)*(x²-2x+3)的高阶多项式,其余式为N(x)+(4x+6),即
f(x)=(x-1)*(x²-2x+3)*M(x)+N(x)+(4x+6)
因为f(x)-(4x+6)可以被(x²-2x+3)分解因式；
所以 N(x)为f(x)被(x-1)(x²-2x+3)分解因式后的余式,但可以被(x²-2x+3)分解因式
即N(x)是)(x²-2x+3)的同阶待定多项式,可设系数为b,
即N(x)=b(x²-2x+3)
即可以设定 f(x)=(x-1)*(x²-2x+3)*M(x)+b(x²-2x+3)+(4x+6) 或
f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)q(x)+a(x^2-2x+3)+4x+6
不知理解妥否,请共勉.
祝你周末快乐!