一个数学证明题已知对于任意实数X和Y都有f(X+Y)=f(X)+f(Y)求证存在实数a使对于任意X都有f(X)=aX请写出完整过程

Question

一个数学证明题
已知对于任意实数X和Y 都有f(X+Y)=f(X)+f(Y) 求证存在实数a 使对于任意X都有 f(X)=aX 请写出完整过程

Answer 1

因为f(0+0)=f(0)+f(0) 故f(0)=0,令y=-x,可得f(x)=-f(-x)
从而该函数为奇函数.故只要证x>=0部分成立即可.
（1）先证明对于任何整数结论成立.
因为f(2)=2f(1),f(3)=f(2)+f(1)=3f(1).可知：
f(n)=nf(1),令f(1)=a,即有：f(n)=a*n,故对于整数结论均成立.
（2）下面证明对于有理数结论也成立.
将区间【0,1】n等分,n可以取任意正整数.分点为：（1/n）,(2/n),...,(k/n),...,{(n-1)/n},其中0