已知（1+2x）n的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

Question

已知（1+2x）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

Answer 1

∵在（1+2x）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，
∴C_n³=7C_n^n-1，
∴n=8，
∴展开式中二项式系数最大的项是第5项：

C

4 8

•(2x)4=1120x⁴．
二项式的展开式的系数最大的项为第r项，
∴

C

r 8

•2r≥

C

r-1 8

•2r-1

C

r 8

•2r≥

C

r+1 8

•2r+1

，解得5≤r≤(16)/(3)，
∴r=5，
∴展开式中系数最大的项是第5项：

C

4 8

•(2x)4=1120x⁴．