数学天才来一下下1、证明：任意三个连续自然数的立方和能被9整除。2、已知方程2X^2-9X+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方。3、M为

Question

数学天才来一下下1、证明：任意三个连续自然数的立方和能被9整除。2、已知方程2X^2-9X+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方。3、M为何值时，方程（M＋1）X^2＋（M－5）X＋（M＋6）＝0的一个根比另一个根的2倍小1？4、已知X1,X2是方程X^2－X－9＝0的两个实数根，求X1^3＋7X2^2＋3X2－66的值

Answer 1

设它们是x-1,x,x+1 立方和为 (x-1)^3+x^3+(x+1)^3 =(x^3-3x^2+3x-1)+x^3+(x^3+3x^2+3x+1) =3x^3+6x =3x(x^2+2) （x^2表示x的平方，x^3表示x的立方） 这首先一定是3的倍数，只要看x，x有三种情况： ①x就是3的倍数，那么3x就是9的倍数，那么3x(x^2+2)（立方和）就是9的倍数 ②x是3的倍数多1，设x=3k+1（k为整数） 3x(x^2+2) =3(3k+1)[(3k+1)^2+2] =3(3k+1)(9k^2+6k+1+2) =3(3k+1)3(3k^2+2k+1) =9(3k+1)(3k^2+2k+1) 是9的倍数 ③x是3的倍数多2，设x=3k+2（k为整数） 3x(x^2+2) =3(3k+2)[(3k+2)^2+2] =3(3k+2)(9k^2+12k+4+2) =3(3k+1)3(3k^2+4k+2) =9(3k+1)(3k^2+4k+2) 是9的倍数