如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OOB时，求⊙O1的半径；（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理

Question

如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OOB时，求⊙O₁的半径；
（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

，OE=．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴，∵OD=y+5，∴．
∴y关于x的函数解析式为：．
定义域为：．（2）当BD=OB时，，．
∴x=6．
∴AE=，OE=．
当点O₁在线段OE上时，O₁E=OE-OO₁=2，．
当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6，．
⊙O₁的半径为或．

（3）存在，当点C为的中点时，△DCB∽△DOC．
证明如下：∵当点C为的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．