如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．求证：（1）△PFD∽△PDC；（2）EPDE=PDDC．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．
求证：（1）△PFD∽△PDC；（2）(EP)/(DE)=(PD)/(DC)．

Answer 1

（1）∵BC与圆相切，
∴∠PFD=∠PDC．
∵BF、BD分别于圆相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
∴△PFD∽△PDC．
（2）∵AE、AF与圆相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴(AF)/(AD)＝(PF)/(FD)、(AE)/(AD)＝(PE)/(ED)且AE=AF，
∴(PF)/(FD)＝(PE)/(ED)．
∵△PFD∽△PDC，
∴(PF)/(FD)＝(PD)/(DC)．
∴(EP)/(DE)=(PD)/(DC)．