求救偏微分方程u（x,y,z）在区域B内二阶连续可微,在B边界上一阶连续可微我们有拉普拉斯u=u^7,且在边界上有：u的外法向导数+f(x)*u=gf（x）>=p>0,p为某一正实数求证：1、在区域B内u没有正最大

Question

求救偏微分方程
u（x,y,z）在区域B内二阶连续可微,在B边界上一阶连续可微
我们有 拉普拉斯u=u^7,
且在边界上有 ：
u的外法向导数+f(x)*u=g
f（x）>=p>0,p为某一正实数
求证：1、在区域B内u没有正最大值或者负最小值
2、max|u(x)|

Answer 1

1. 假定u在B内部的某点x0取到最小值,那么u(x)在x0处的一阶偏导为0,Hesse矩阵半正定.
注意到Δu是Hesse矩阵的迹,一定非负,所以u^7=Δu>=0,即u(x0)>=0,说明最小值一定不是负的.同理正的最大值也取不到.
2. 注意max|u(x)|一定是在u(x)正的最大值或者负的最小值处取到,除非u恒为0（此时结论显然）.利用前面的结论,max|u(x)|一定在B的边界上取到.比如说max|u(x)|=u(x1),x1在B的边界上,那么该点处的外法向导数(简记为u')非负,所以0