求使方程x2-pqx+p+q=0有整数根的所有正整数p和q．

Question

求使方程x²-pqx+p+q=0有整数根的所有正整数p和q．

Answer 1

设方程x²-pqx+p+q=0的整数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=pq，x₁x₂=p+q，
∴x₁，x₂同号，x₁，x₂都大于0，而两个正整数的乘积+1≥两个正整数的和，
∴p+q+1≥pq，（p-1）（q-1）≤2，
∴p-1=1，q-1=2 或p-1=1，q-1=1，
∴p=2，q=3或 p=2，q=2或p=3，q=2．