（2014•淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标

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（2014•淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有______个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

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答案和解析

（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P₁、P₂．
在优弧AP₁B上任取一点P，如图1，
则∠APB=

∠ACB=

×60°=30°．
∴使∠APB=30°的点P有无数个．
故答案为：无数．

（2）①当点P在y轴的正半轴上时，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），
∴OA=1，OB=5．
∴AB=4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，
∴AG=BG=

AB=2．
∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∴CG=

AC2−AG2

42−22

．
∴点C的坐标为（3，2

）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP₂，如图1，
∵点C的坐标为（3，2

），
∴CD=3，OD=2

．
∵P₁、P₂是⊙C与y轴的交点，
∴∠AP₁B=∠AP₂B=30°．
∵CP₂=CA=4，CD=3，
∴DP₂=