线性代数的问题已知A和B都为n阶矩阵.证明：1,AB的迹和BA的迹相等.2,若A或B可逆,求证AB和BA相似.3,A和B正定,求证AB=BA的充要条件是AB正定.4,若E-AB可逆,证明E-BA可逆.不过第一道题还是不会.我最怕

Question

线性代数的问题
已知A和B都为n阶矩阵.证明：1,AB的迹和BA的迹相等.2,若A或B可逆,求证AB和BA相似.3,A和B正定,求证AB=BA的充要条件是AB正定.4,若E-AB可逆,证明E-BA可逆.
不过第一道题还是不会.我最怕这种题目,要用配凑.所以我总结了很多这些用概念而且易被忽略的题目.

Answer 1

1.完全没难度,自己动手算
2.假定A可逆,AB相似于A^{-1}(AB)A=BA
就这么一个条件,都不知道试一下吗
3.假定这里的正定是指Hermite正定（或者实对称正定）
必要性：AB=BA => AB=(AB)^H
由惯性定理,A合同于单位阵,即存在可逆阵C使得A=CC^H,
那么AB=CC^HB相似于C^{-1}(CC^HB)C=C^HBC,再由惯性定理知其特征值是正的
充分性：由(AB)^H=AB就能推出AB=BA
4.只要解出方程(E-BA)X=E就行了
令Y=AX,那么X=E+BY => Y=AX=A+ABY => (E-AB)Y=A => Y=(E-AB)^{-1}A => X=E+BY=E+B(E-AB)^{-1}A
代回去检验一下就知道(E-BA)^{-1}=E+B(E-AB)^{-1}A