已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)(1)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值.(2)若f(x)小于或等于2x在x>0上恒成立,求a的取值范围.

Question

已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)
(1)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值.
(2)若f(x)小于或等于2x在x>0上恒成立,求a的取值范围.

Answer 1

(1)
设0f(x1)-f(x2)=1/x2-1/x1=(x1-x2)/x1x2<0 故f(x)为增函数
f(m)=m ,f(n)=n
m=1/a-1/m n=1/a-1/n
m^2-1/a*m+1=0
n^2-1/a*n+1=0
m,n为方程y^2-1/a*y+1的两个不相等的实根
判别式B^2-4AC>0 1/a^2-4*1*1>0 a>0
故a的范围为0m=[1/a-根号下(1/a^2-4)]/2 n=[1/a+根号下(1/a^2-4)]/2 (因为m(2)
f(x)小于或等于2x在（0,+无穷）上恒成立
即1/a<=1/x+2x (x>0)
求出1/x+2x在(0,+无穷)的最小值即可
1/x+2x>=2倍根号2 x=2分之根号2取等号
1/a<=2倍根号2 a>=4分之根号2