曲线C是圆域D:x^2+y^2≤-2x的正向边界,则曲线积分∫C(x^3-y)dx+(x-y^3)dy=()答案应该是2π怎么解出来的

Question

曲线 C是圆域D:x^2+y^2 ≤-2x的正向边界,则曲线积分∫C (x^3-y)dx+(x-y^3)dy=()
答案应该是2π 怎么解出来的

Answer 1

x² + y² = - 2x
x² + 2x + 1 + y² = 1
(x + 1)² + y² = 1
D为半径是1,面积是π的区域
令P = x³ - y,Q = x - y³
∂Q/∂x = 1,∂P/∂y = - 1
由格林公式：
∮_C Pdx + Qdy
= ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
= ∫∫_D (1 - (- 1)) dxdy
= 2∫∫_D dxdy
= 2 · π
= 2π