已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c)的离心率为√2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点为f1、f2为顶点的三角形的周长为4(√2+1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设p为该双曲线上异于顶点的任一点

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c)的离心率为√2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左
右焦点为f1、f2为顶点的三角形的周长为4(√2+1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设p为该双曲线上异于顶点的任一点(1)求椭圆和双曲线的标准方程(2)设直线pf1 pf2的斜率分别为k1 k2,证明:k1×k2=1

Answer 1

1、设椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0),
|F1F2|=2c,
根据椭圆定义,
|PF1|+|PF2|=2a,
△PF1F2周长p=2a+2c=4(√2+1),
a+c=2(√2+1),
离心率e=c/a=√2/2,
∴c=√2a/2,
a+√2a/2=2(√2+1),
∴a=2√2,
c=2,
b=√(a^2-c^2)=2,
∴椭圆方程为:x^2/8+y^2/4=1,
根据题意,等轴双曲线的实半轴长等于椭圆的半焦距,
∴双曲线的方程为:x^2/4-y^2/4=1.
2、P点应该是椭圆和双曲线的交点才对,
设P（x0,y0),
直线PF1的斜率k1=(y0-0)/(x0-c),
k1=y0/(x0+2),
k2=y0(x0-2),
∴k1*k2=y0^2/(x0^2-4),(1)
∵P同时也在双曲线上,
∴x0^2/4-y0^2/4=1,
x0^2-y0^2=4,
y0^2=x0^2-4,（2）
由（2）式代入（1）式：
∴ k1*k2=1.